Hola , basicamente sí , necesitas el explorer si trabajas con windows , cuando necesites actualizar algo del sistema operativo o instalar alguna actualización crítica tendrás que hacerlo desde el explorer , incluso hay páginas en internet que no podrás ver con otro navegador , aunque este problema es cada vez menor.
En cuanto a las diferencias entre Mozilla y Firefox , bueno , creo que la mayor y principal diferencia es que Firefox es un navegador , simplemente , mientras que Mozilla es una suite completa , incluye navegador , gestor de correo , editor de páginas webs y no sé que más.
Yo prefiero el firefox simplemente , pero porque no uso gestor de correo y no necesito los otros complementos de Mozilla , lo mejor sería que probases tú mismo los dos y decidas cual prefieres según tus necesidades :wink: