Si el hosting es compartido, un server virtual o cosa así la respuesta es sí, la empresa que te alquila el hosting es la encargada de actualizar el software. Es una cosa a tener en cuenta a la hora de contratarlo y/o renovarlo, ver si usan las últimas versiones estables y cuanto tardan en actualizarse.
Si el hosting fuese dedicado es cosa del administrador, normalmente tú, el meter las versiones nuevas.
A tí solo te afecta la seguridad propia de la página, como puede ser el tema del captcha, configuración del .htaccess, robots.txt, permisos de los archivos, etc ...