Vamos a centrarnos, repasemos la información que nos has dado, la que nos falta, y lo que puede pasar:
-Es evidente que tienes conexión a internet, ya que si enchufas directamente el modem al ordenador funciona bien
-Dices que al conectar el modem al router, no tienes internet de manera inalámbrica, pero,...¿y por cable? Si llevas un cable del router al ordenador ¿tienes conexión?. Es muy probable que por cable tampoco funcione, y le estés achacando el problema a la conexión inalámbrica, cuando el problema seguramente esté en la nnecgociación de ip's entre cable-modem y router.
-Dices que logras entrar en la página de configuración del router. Mira si logra obtener una ip pública del modem thomson. Lo verás en "status" o en "wan interface", o algun apartado similar, (no recuerdo de memoria como es el menu de ese router).
Muy importante: ¿conectas el modem thomson a la boca rj45 adecuada? Ha de ser la wan interface, normalmente está "separada" de las otras 4, se suele distinguir bastante bien.
Hay muchas probabilidades de que ese cable modem no se lleve bien con tu router. Me he encontrado muchos casos en los que, tanto el router como el modem están perfectamente, y sin embargo el router no logra obtener una ip del cable-modem. Para mas señas te diré que los modems solian ser thomson o motorola, y los routers a los que mas les pasaba los smc. En ese caso no quedarías mas remedio que cambiar de modelo/marca.
Ojo, tambien hay otra posibilidad, y es que dices que antes se estaba usando en otra red, no se con que topología ni configuración, de todas maneras, si está bien reseteado, los routers para cable-modem, suelen venir (por no decir siempre), configurados por defecto para enchufar y listo, sin falta de configurar nada.
Otra cosa es que no esté bien reseteado, hay veces que son algo rebeldes, y hay que mantener el botón pulsado varios segundos (por supuesto con la alimentación enchufada).
En todo caso comprueba que el NAT está activado, y que en la interfaz wan está activado el cliente dhcp, es decir, que va a admitir la ip que le entrega el cable-modem.
un saludo