Pues un programa para gestionar los correos es un programa como el Outlook, Thunderbird o cualquier otro, la verdad es que en Windows 10 por defecto no sé que programa o aplicación se usa para esto.
La cuestión es que tú sabrás dónde accedes o accedías a tus correos, si no es un programa específico será a través del navegador pero como dices que te sale un aviso del sistema para corregir los datos entiendo que será algo que va por defecto en windows.
En fín, que uses o no uses lo que sea si tú vas a la web de gmail deberías de poder entrar en tu cuenta a través del navegador (y si me dices que no sabes hacer eso me matas), lo mismo para yahoo y para cualquier otro correo que tengas, otra cosa es que no recuerdes las claves de acceso porque si como dices cambiastes las claves montones de veces y no las recuerdas pues veo normal que no recibas correos, en realidad no tienes acceso a las cuentas pero luego por haber puede haber miles de correos. Si no recuerdas las contraseñas y no tienes formas de recuperarlas (a través de las webs se puede) puedes dar las cuentas por perdidas.